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Der Sinussatz

Da der Satz des Pythagoras nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt, muss für Dreiecke mit beliebigen Winkeln ein Analogon gefunden werden: Der <strong>Sinussatz</strong> (oft auch Verhältnissatz genannt) ist hier das Mittel der Wahl.

Allgemeine Beziehungen

Nehmen wir ein ganz allgemeines Dreieck an, welches die drei Punkte A, B und C miteinander verbindet. Die Seiten tragen die Namen des jeweils gegenüberliegenden Punktes, die Seite a verbindet also die Punkte B und C miteinander. Die Winkel α, β und γ liegen jeweils bei den Punkten A, B und C.

Im Sinussatz treten nun folgende Korrelationen auf:

sin(α)/a=sin(β)/b=sin(γ)/c


Diese Beziehungen lassen sich über Trigonometrie herleiten, indem man die Höhe über eine Grundseite einzeichnet und anschließend die Winkelbeziehungen in den zwei resultierenden Dreiecken aufstellt.

Anwendung

Mit Hilfe des Sinussatzes können nun in einem beliebigen Dreieck Winkel bzw. Seitenlängen errechnet werden. Um alle Seitenlängen bzw. Winkel ausrechnen zu können, müssen allerdings immer mindestens drei Variablen bekannt sein. Es können also mit Hilfe der folgenden Kombinationen alle Größen des Dreiecks bestimmt werden:

  • Drei Winkel
  • Drei Seitenlängen
  • Zwei Winkel und eine Seitenlänge
  • Zwei Seitenlängen und ein Winkel

Anwendungsbeispiel

Um das Ganze zu veranschaulichen, wenden wir den Sinussatz in einem kleinen Rechenbeispiel an:

Angenommen, α sei 40°, β=30° und c habe die Länge 5.
Die fehlenden Größen berechnen sich also wie folgt:

Winkel γ

Da die Winkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt, ist die Winkelberechnung auch ohne Sinussatz möglich:

180°=α+β+γ

<=>γ=180°-α-β=180°-40°-30°=110°

Seitenlängen a und b

Im Sinussatz sind die Winkel immer  zur Seitenlänge in Beziehung gesetzt. Es erfordert also etwas Umformung, um die gewünschte Seitenlänge zu erhalten:

sin(α)/a=sin(γ)/c

<=>a=sin(α)/sin(γ)*c=sin(40°)/sin(110°)*5≈ 3,42

Analog gilt für b:

b=sin(β)/sin(γ)*c=sin(30°)/sin(110°)*5≈2,66

Sind drei Winkel oder drei Seitenlängen gegeben, so benutzt man folgende Umformung des Sinussatzes:

sin(α)/a=sin(γ)/c

<=>sin(α)/sin(γ)=a/c=sin(β)/b

Als Alternative zum Sinussatz kann auch der Kosinussatz, der in seiner Form eher dem Satz des Pythagoras ähnelt, verwendet werden.