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Die Winkelberechnung in Dreiecken

Für das Lösen diverser mathematischer Probleme in der Trigonometrie ist die korrekte Berechnung von Winkelgrößen unerlässlich. Für diese Winkelberechnung gibt es dabei mehrere Möglichkeiten. Simpel ist es, Winkel durch einfache Addition und Subtraktion zu berechnen. Sind entsprechende Winkelgrößen bereits bekannt, so kann auf die Größe der Verbleibenden geschlossen werden.
Ausgangspunkt für diese Art der Winkelberechnung ist die Vorkenntnis, dass die Summe der Winkel eines jeden Dreiecks immer 180° ergibt. So kann aus zwei gegebenen Winkelgrößen die Fehlende errechnet werden. Auch lässt sich daraus schließen, dass im gleichschenkligen Dreieck jeder Winkel 60° beträgt. Eine weitere daraus abzuleitende Information für die Winkelberechnung ist der Umstand, dass im rechtwinkligen Dreieck die beiden spitzen Winkel zusammen 90° groß sein müssen.

Wie viel Grad jedem der beiden Winkel dabei jedoch genau zukommen, lässt sich mit einem anderen Verfahren zur Winkelberechnung klären. Im rechtwinkligen Dreieck ist bereits die Information gegeben, dass ein Winkel 90° beträgt. Daher ist nun nur noch ein weiterer Winkel zu berechnen, um auch auf den dritten Winkel schließen zu können. Dafür lassen sich die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens anwenden. Sie drücken ein Verhältnis zwischen den Seiten eines Dreiecks und dessen Innenwinkeln aus. Daher machen sie die Winkelberechnung der Größe α nur mit Hilfe zweier Seitenlängen möglich.

Sind Hypotenuse und Gegenkathete bekannt, so arbeitet man mit der Sinusfunktion: sin(α) = a : c
Sind Hypotenuse und Ankethete gegeben, ist die Winkelfunktion Kosinus anzuwenden: cos(α) = b : c
Sind nur die Längen beider Katheten gegeben, so lässt sich α mit der Tangensfunktion berechnen: tan(α) = a : b

Zwar lassen sich die drei Winkelfunktionen nur auf rechtwinklige Dreiecke anwenden, jedoch können sie auch zur Winkelberechnung in anderen geometrischen Formen dienen. In komplexeren Rechenaufgaben lassen sich die meisten Figuren in rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Somit können mehrschrittig zunächst Teilwinkel berechnet und später summiert werden. Folglich ist auch die Winkelberechnung in anderen Vielecken mit diesen Formeln kein Problem.