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Was ist der Kosinussatz?

Der Kosinussatz stammt aus der Trigonometrie und wird auch der trigonometrische Pythagoras genannt. Hier wird eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines allgemeinen Dreieckes = a, b und c hergestellt, wobei der Kosinus zu einem der drei Winkel in Beziehung steht. Während beispielsweise zwei Seitengrößen bekannt sind, geht es darum, die dritte, die fehlende Seite zu errechnen und der Kosinussatz ermöglicht diese Berechnungen.

Das Dreieck wird durch die eingezeichnete Höhe = h in zwei Dreiecke, die rechtwinklig sind, geteilt. Die Sinuswerte werden als Quotient von Hypotenuse und Gegenkathete dargestellt. Es ergeben sich Gleichungen, die durch die Benutzung der Höhe anwendbar werden. Immer wieder durch beispielsweise Entfernungs- und Höhenbestimmungen in der Praxis genutzt sowie Ermittlungen der momentanen Positionen verschiedener Himmelskörper an einer gedachten Himmelskugel.

Es ist ja bekannt, dass Sinus und Kosinus nur in einem rechtwinkligen Dreieck als Winkelfunktionen gelten. Im Kosinussatz = a² = b² + c² – 2 b c cos(α) finden wir unterschiedliche und recht interessante Rechenfunktionen bei den trigonometrischen Funktionen. Sehen wir uns einmal die Regel zu der Zahl 1 an, finden wir folgende Formel: (sin(α))2 + (cos(α))2 = Zahl 1. Und wenn wir uns diese Formel mal anschauen: b² = a² + c² heißt das, das b als Hypotenuse in dem zugrunde liegendem Dreieck rechtwinklig ist, bzw. sein muss – das ist der Beweis.

Was aber nun, wenn der Kosinussatz in einem nicht rechtwinkligen Dreieck seine Anwendung finden soll – ist das möglich? Ja, das ist es, hier wird mit einer sogenannten Hilfskonstruktion gearbeitet. An der Höhe h wird ein Punkt angebracht, der, die beispielsweise Seite c in zwei Abschnitte zerteilt und es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke von gleicher Höhe. Wichtig ist für diese Funktion, dass die Höhe innerhalb des Dreiecks liegt. Immer ausgehend davon, dass sich cos auf der einen Seite der Gleichung befindet und die anderen Angaben sich auf der anderen Seite befinden, wenden wir den Kosinussatz an.

Praktisch können wir mit dem Kosinussatz bei zwei gegebenen Seiten und einem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite bestimmen. Wir benötigen hier drei Angaben – entweder haben wir zwei Seiten und einen Winkel oder wir haben zwei Winkel und eine Seite. Es heißt auch mit dem Kosinussatz kann ein sogenannter stumpfer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet werden. Es handelt sich hierbei um den Bereich der höheren Mathematik, wo die ersten Ansätze aus Indien und Griechenland stammen – aufbauend auf die arabische Forschung.